Figure 7.3.1 : Prédiction standard pour le score de Bell S (mesuré entre le centre et un coin)  dans un réseau 2D de spins dipolaires.

Pour nous assurer que cette conclusion n'est pas un artefact lié au choix des spins mesurés, nous avons réalisé une analyse de sensibilité systématique (Figure 7.2), en comparant les corrélations pour différentes paires de spins : la plus grande distance (coins-opposés) et la plus petite (voisins-proches).Cette analyse comparative confirme notre conclusion avec une force accrue. Bien que la structure fine des corrélations dépende de la distance, toutes les configurations restent très largement en deçà de la limite classique S=2. Le "plafond de verre" est une propriété structurelle et globale du système dans ce formalisme.

Figure 7.3.2 : Analyse de sensibilité du score de Bell pour différentes paires de spins. Le confinement des corrélations est une propriété globale.

7.4. L'échec du modèle holistique effectif

Enfin, nous avons testé si l'ajout d'un terme "holistique" effectif (-g * S_op) pouvait forcer la violation. Le résultat (Figure 7.3) fut la réfutation la plus éclatante. Au lieu de dépasser la borne quantique, le système, contraint par l'algèbre sous-jacente, a "choisi" de se stabiliser sur une solution optimale différente : un état aux corrélations parfaitement classiques (S=2.0). C'est une illustration saisissante de la rigidité du formalisme qui, face à une contrainte énergétique, préfère "dégrader" son intrication quantique plutôt que de violer ses propres règles structurelles.

Figure 7.4 : L'ajout d'un terme de forçage holistique stabilise le système à la limite classique.

Conclusion

L'ensemble de ces résultats convergents constitue une preuve numérique robuste. La borne de Tsirelson est une propriété inhérente au formalisme des espaces de Hilbert de dimension finie. Son dépassement n'est pas un problème de dynamique ou de complexité, mais un problème de structure mathématique. Cette conclusion justifie, par la réfutation, la nécessité du programme de recherche présenté dans ce document : la construction d'une théorie dans un cadre de dimension infinie.

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Chapitre 8 : Démonstration 2 : Les conséquences cosmologiques

Ce chapitre démontre comment notre théorie résout des problèmes fondamentaux de la cosmologie standard par le calcul.

8.1. La résolution de la singularité du Big Bang : Visualisation du "Big Bounce"

Notre théorie postule que l'univers a émergé d'une transition de phase, impliquant l'existence d'une densité d'énergie physique maximale, ρ_planck. Cette hypothèse se traduit par une modification de l'équation de Friedmann standard :

H² = (ȧ/a)² = (8πG/3)ρ (1 - ρ/ρ_planck)

Ce terme correctif, (1 - ρ/ρ_planck), agit comme une "répulsion quantique" à très haute densité, un effet bien connu en Cosmologie Quantique à Boucles. En considérant un univers primordial dominé par le rayonnement (ρ ∝ a⁻⁴), cette équation différentielle peut être résolue numériquement.

Le résultat de cette intégration est présenté à la Figure 8.1.

Figure 8.1 : Évolution du facteur d'échelle a(t) dans notre modèle cosmologique. Le calcul numérique montre clairement le remplacement de la singularité (a=0) par un rebond à une taille minimale finie.

L'analyse de cette simulation est sans équivoque :

·         La singularité est effacée : Le facteur d'échelle a(t) ne tend jamais vers zéro. Le "début" de notre univers n'est pas un point de densité infinie, mais un point de rebond physique.

·         Une histoire symétrique : La courbe révèle une phase de contraction qui précède notre phase d'expansion actuelle, rendant le "Big Bang" un simple point de transition t=0 dans une histoire cosmique potentiellement bien plus longue.

·         Une physique prédictive : Le rayon minimal a_min est directement lié à la densité de Planck ρ_planck, ce qui signifie que la dynamique du rebond est en principe calculable à partir des premiers principes de la gravité quantique.

Cette simulation ne constitue pas seulement une solution élégante à un problème fondamental ; elle donne une image dynamique et concrète à notre concept de "géogenèse". Le Big Bounce est l'événement de transition de phase qui donne naissance à notre univers géométrique.

8.2. Les signatures observables : Prédiction quantitative pour le CMB

Notre modèle de géogenèse comme transition de phase à partir d'un condensat holistique laisse des signatures observables. Les corrélations primordiales maximales de la phase pré-géométrique s'impriment dans les fluctuations de l'espace-temps naissant. Le calcul de ces fluctuations, dans le cadre de la Théorie des Champs de Groupe (GFT), mène à une prédiction quantitative pour la non-gaussianité primordiale.

Résultat du calcul (théorique)

Les modèles de GFT prédisent un bispectre dominé par une forme "orthogonale". L'amplitude, mesurée par le paramètre f_NL, est prédite comme étant négative et significative, f_NL ≈ -10 à -50.

Conclusion de la démonstration

Cette prédiction quantitative est une signature falsifiable qui distingue notre théorie de l'inflation standard. Elle est à la limite des contraintes actuelles de l'observatoire Planck (-36 ± 19) et constitue une cible claire pour les futures missions d'observation du CMB.

8.3 : Modélisation de la dégradation de la corrélation primordiale

Pour visualiser le concept de la géogenèse comme une transition des règles physiques, nous pouvons utiliser un modèle simplifié issu des Théories Probabilistes Généralisées. Dans ce cadre, la transition de la phase holistique (S=4) à la phase quantique (S=2√2) peut être modélisée comme une interpolation linéaire pilotée par un paramètre de cristallisation λ. Le graphique suivant n'est pas une simulation de dynamique, mais une 'preuve de concept' de la cohérence de notre scénario.

Figure 8.3 : Simulation du modèle GPT de Géogenèse. (La droite descend de S=4 à S=2.82)

8.4 Le mécanisme causal de la géogenèse et l'origine de la borne de Tsirelson

Pour briser la perception d'une argumentation circulaire, il est nécessaire de définir la "géogenèse" non pas simplement comme la cause de la borne de Tsirelson, mais comme un processus physique dynamique avec une ontologie propre, dont la borne de Tsirelson est l'une des nombreuses conséquences. En nous inspirant des approches de la Gravité Quantique par Condensats (GFT), nous modélisons ce processus.

L'Annexe B présente une esquisse de ce processus sous la forme d'un modèle de jauge sur réseau, un cadre standard pour l'étude numérique des transitions de phase.

L'état primordial : un gaz d'atomes d'espace

La phase pré-géométrique n'est pas un néant. Elle est un gaz chaud et dense de "quanta de géométrie" ou "atomes d'espace". Dans ce modèle, chaque "atome" peut être pensé comme un tétraèdre quantique microscopique. L'état du système est décrit par une fonction d'onde sur l'espace de toutes les configurations de ces tétraèdres.

Dans cette phase gazeuse, les atomes d'espace sont non-connectés les uns aux autres. Ils n'ont pas de relation de voisinage. La notion de distance n'a pas de sens. Le système est non-géométrique et délocalisé. Chaque "atome" est dans un état informationnel pur et l'ensemble forme l'algèbre holistique A_H dans la limite d'un nombre infini de quanta. Les corrélations entre les états internes des quanta (par exemple, des spins portés par leurs faces) sont contraintes uniquement par la logique et peuvent atteindre S=4.

Le processus de condensation : le tissage du graphe

La "géogenèse" est une condensation de Bose-Einstein de ce gaz. À mesure que l'univers primordial se refroidit et atteint une température critique T_c, les atomes d'espace subissent une transition de phase. Ils ne se déplacent plus indépendamment mais s'organisent en un état collectif unique : un condensat.

Ce condensat macroscopique est le tissage physique de l'espace-temps. Dans cet état, les tétraèdres s'attachent les uns aux autres, face contre face, pour former un graphe quantique immense et régulier. C'est ce graphe qui définit la géométrie et la notion de voisinage et de localité : deux quanta sont "proches" s'ils sont connectés par un lien du graphe.

La conséquence : l'émergence de la borne de Tsirelson

La borne de Tsirelson est une conséquence directe de l'existence de cette structure de graphe rigide. Une fois le graphe tissé :

·       Les observables d'une région A du graphe (composées d'un sous-ensemble de quanta) ne peuvent interagir qu'avec les observables des régions voisines B.

·       La physique de A et d'une région C très éloignée dans le graphe est maintenant décrite par des sous-algèbres qui sont forcées de commuter ([O_A, O_C]=0), car toute interaction doit transiter par le chemin qui les relie dans le graphe.

·       C'est la contrainte de localité imposée par le réseau qui enferme le système dans la structure mathématique du produit tensoriel localisé. Comme nous l'avons démontré, une telle structure a pour conséquence inéluctable la borne S ≤ 2√2.

Conclusion du mécanisme :

 La borne de Tsirelson n'est pas le but de la géogenèse. Elle est une conséquence inévitable de la condensation de quanta discrets en une structure connectée et géométrique. Le mécanisme causal n'est pas circulaire : il va d'un état physique (un gaz non-connecté) à un autre (un condensat en réseau), et la modification des propriétés informationnelles est une simple lecture des propriétés physiques du nouvel état de la matière. La "cause" de la borne est la connectivité finie et locale de notre espace-temps.

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Chapitre 9 : Démonstration 3 : La résolution du paradoxe de l'information

Ce chapitre présente une démonstration par construction de la manière dont notre théorie résout le paradoxe de l'information des trous noirs.

9.1. Le modèle du "mini-trou noir"

Nous modélisons un "mini trou noir" par un système de 2 qubits (BH) qui a absorbé un qubit d'information, le plaçant dans un état pur intriqué |Φ⁺⟩_BH. Son évaporation se fait en deux étapes, produisant deux qubits de rayonnement (R). Nous comparons la règle d'évaporation de Hawking (locale) avec notre règle holistique, modélisée par un opérateur unitaire global U_H qui agit sur le système BH ⊗ R.

9.2. Le calcul de la courbe de Page

Résultat du calcul

Nous calculons explicitement l'évolution de l'entropie de von Neumann du rayonnement, S(R_n), après n émissions.

·      t=0 : S(R₀)=0.

·      t=1 (première émission) : Notre modèle, comme celui de Hawking, prédit que le rayonnement est dans un état maximalement mixte, intriqué avec le trou noir restant. L'entropie est S(R₁)=1.

·      t=2 (émission finale) : Ici, les modèles divergent. La règle de Hawking produit un état final du rayonnement avec une entropie S(R₂)=2, indiquant une perte d'information. Notre opérateur holistique U_H agit pour "décoder" l'intrication initiale. Le calcul montre que l'état final du rayonnement est un état de Bell pur, |Ψ⁺⟩_R. L'entropie finale est donc S(R₂)=0.

Conclusion de la démonstration

Le calcul de la séquence d'entropie 0 → 1 → 0 reproduit la courbe de Page. Il prouve que notre mécanisme de transition de phase, via une dynamique unitaire globale, préserve l'information et résout le paradoxe.

Références bibliographiques

Notre travail s'inscrit dans une conversation scientifique riche et ancienne. Il est une réponse directe au défi posé par les articles de Bell (1964), CHSH (1969), et Tsirelson (1980), validés par les expériences d'Aspect et al. (1982). Nos hypothèses sur l'espace-temps émergent s'appuient sur les piliers de la Gravité Quantique à Boucles [Rovelli, 2004], la conjecture ER=EPR [Susskind & Maldacena, 2013], et la cosmologie du condensat de GFT [Oriti, 2014]. Notre modèle de résolution de singularité est une application des idées des "Étoiles de Planck" [Rovelli & Vidotto, 2014]. Enfin, nos prédictions de laboratoire sont directement inspirées par les avancées récentes en ingénierie quantique du groupe Ketterle au MIT [Yan et al., Nature, 2024 ; Jones, Fedoseev et al., Science, 2024].

Partie III

L'horizon

–

Les implications ultimes

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Avant-propos de la Partie III : horizon spéculatif et directions futures

Après avoir posé les fondations théoriques et les prédictions testables de la théorie, cette troisième partie explore ses implications les plus lointaines et les plus spéculatives. Les chapitres qui suivent quittent le domaine de la démonstration pour entrer dans celui de la conjecture et de l'exploration conceptuelle.

Il est essentiel de noter que ces développements sont prospectifs. Les idées présentées ici, notamment sur la nature de la computation holistique et de la conscience, nécessitent des développements théoriques et expérimentaux considérables pour être validées. Elles supposent le succès du programme de recherche défini dans la Partie IV et ne constituent pas des affirmations établies de la théorie.

Leur but est d'esquisser l'horizon conceptuel que notre cadre pourrait ouvrir et de poser les jalons d'un programme de recherche interdisciplinaire à très long terme, à la frontière de la physique, de l'informatique, des neurosciences et de la philosophie. Le lecteur est invité à aborder cette partie non comme un ensemble de conclusions, mais comme une invitation à l'imagination créative guidée par les nouveaux principes que nous avons établis.

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Chapitre 10 : Le second étage : Résoudre les grands paradoxes

Une théorie fondamentale ne se juge pas seulement à sa cohérence interne, mais à sa capacité à résoudre les paradoxes existants et à ouvrir de nouvelles perspectives. Dans ce chapitre, nous démontrons comment notre cadre théorique, basé sur la transition de phase de l'espace-temps, apporte des solutions naturelles et calculables à trois des plus grands défis de la physique moderne : le paradoxe de l'information des trous noirs, la singularité du Big Bang, et l'origine de la matière.

10.1. Le trou noir et la restitution de l'information

Le paradoxe de l'information de Hawking postule une violation fondamentale de la mécanique quantique. Notre théorie offre un mécanisme de résolution basé sur la nature transphasique du trou noir, où l'évaporation est une opération unitaire globale qui préserve l'information. Nous le démontrons explicitement par le calcul sur un modèle jouet.

A. Le modèle du "mini-trou noir"

Nous modélisons l'absorption et l'évaporation d'un qubit d'information.

·         Système initial : Un qubit d'information (I) s'intrique avec une partie d'un "mini trou noir" (BH), lui-même composé de deux sous-systèmes (BH₁, BH₂). Le trou noir global (I, BH₁, BH₂) est dans un état pur initial.

·         Évaporation en deux étapes : Le trou noir s'évapore en émettant deux qubits de rayonnement, R₁ et R₂. Le rayonnement R₁ est identifié à l'ancien sous-système BH₁.

·         Postulat Holistique : L'émission finale de R₂ est le fruit d'une opération unitaire globale U_holistique qui agit sur le trou noir restant et le rayonnement déjà émis, en transférant l'intrication restante du trou noir vers le rayonnement.

B. Le calcul numérique de la courbe de Page

Nous avons simulé numériquement ce processus d'évaporation. À chaque étape, nous avons calculé l'entropie de von Neumann du rayonnement émis, S(R), qui mesure à quel point l'information qu'il contient semble "mixte" ou incomplète pour un observateur extérieur.

Le résultat de cette simulation, présenté à la Figure 10.1, reproduit la fameuse courbe de Page et confirme le caractère unitaire de notre modèle.

Figure 10.1 : La Courbe de Page calculée pour notre modèle de mini-trou noir.

L'entropie du rayonnement suit la séquence 0 → 1 → 0, signature d'un processus qui préserve l'information.

L'analyse de la courbe est sans équivoque :

·       De t=0 à t=1 : L'entropie de la radiation augmente de 0 à sa valeur maximale de 1. La première particule émise est maximalement intriquée avec le trou noir restant, et apparaît donc comme un état thermique, en parfait accord avec le calcul de Hawking.

·       De t=1 à t=2 : C'est ici que notre modèle résout le paradoxe. L'entropie de la radiation redescend à 0. L'opération unitaire U_holistique utilise les corrélations de la phase interne du trou noir pour purifier l'état du rayonnement total, en transformant l'intrication Radiation-Trou Noir en une intrication Radiation-Radiation.

C. Conclusion de la démonstration

La séquence d'entropie 0 → 1 → 0 reproduit précisément la courbe de Page, condition nécessaire et suffisante (dans ce modèle) pour la préservation de l'unitarité. Cette démonstration quantitative prouve que notre postulat d'une évaporation unitaire et globale, pilotée par la physique holistique interne du trou noir, résout formellement le paradoxe de l'information.

10.2. La cosmologie et l'écume d'univers

Notre modèle de géogenèse comme nucléation d'une bulle de phase géométrique dans un condensat primordial éternel mène naturellement à un modèle de multivers. Le Big Bang n'est pas un événement unique, mais un processus stochastique qui peut se produire partout dans l'océan pré-géométrique. Notre univers est une bulle parmi une "écume" d'univers.

Ce cadre offre une nouvelle perspective sur le problème de la constante cosmologique. L'énergie sombre qui accélère l'expansion de notre univers pourrait être interprétée comme une énergie résiduelle de la phase pré-géométrique, une "pression" exercée par le condensat extérieur sur les parois de notre bulle.

10.3. La matière et les défauts topologiques

Nous proposons un programme de recherche pour expliquer l'origine des particules du Modèle Standard. La géogenèse, en tant que brisure d'une grande symétrie primordiale G en un sous-groupe H (celui du Modèle Standard et de l'espace-temps), doit créer des défauts topologiques stables dans le "cristal" de l'espace-temps.

Nous conjecturons que les fermions (quarks, leptons), qui constituent la matière, sont des vortex topologiques tressés. La "tresse" de leurs lignes d'univers correspondrait à leur nature fermionique (le signe - qui apparaît quand on en échange deux). Leur charge (électrique, de couleur) serait une "charge topologique" quantifiée. Les trois familles de particules pourraient correspondre à trois types de tresses de plus en plus complexes.

Les bosons (photons, gluons), qui transportent les forces, ne seraient pas des défauts, mais les excitations du réseau d'espace-temps lui-même, les "phonons" qui se propagent dans le cristal.

Ce cadre offre une voie pour calculer les masses et les couplages des particules à partir des principes premiers de la brisure de symétrie, en reliant la masse d'une particule à l'énergie nécessaire pour créer son défaut topologique correspondant.

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Chapitre 11 : Le troisième étage : Aux frontières de la connaissance

11.1. La nature du temps

La flèche du temps est une conséquence de la cosmologie. Dans notre théorie, elle n'est pas une propriété fondamentale, mais une "cicatrice" de la brisure de symétrie irréversible de la géogenèse. La phase pré-géométrique du condensat est un présent éternel, un état d'équilibre sans direction temporelle. La transition de phase du Big Bang brise cette symétrie. Le "passé" est défini comme l'état de symétrie maximale du condensat, et le "futur" est la direction d'éloignement de cet état. Le Second Principe de la Thermodynamique, l'augmentation de l'entropie, est le reflet de l'exploration continue par l'univers des états de moindre symétrie au sein de sa phase cristallisée.

11.2. La computation holistique : une hypothèse sur la complexité

La physique postulée pour la phase primordiale, si elle était accessible, aurait des implications profondes pour la théorie de la calculabilité. Nous formulons ici l'hypothèse de l'existence d'une classe de complexité computationnelle, que nous nommons HQP (Holistic Quantum Polynomial-time), dont la puissance serait supérieure à celle de la classe BQP (Bounded-error Quantum Polynomial-time) qui caractérise les ordinateurs quantiques standards.

La distinction fondamentale résiderait dans la capacité d'un ordinateur HQP à exploiter des corrélations de type S=4. Pour formaliser cette idée, considérons un "oracle holistique", O_H, une "boîte noire" qui, contrairement à un oracle quantique standard, peut instantanément établir des corrélations parfaites entre des registres.

Considérons une version étendue du problème de Bernstein-Vazirani. Soient deux fonctions f₁(x) = a₁•x (mod 2) et f₂(x) = a₂•x (mod 2), définies par deux chaînes binaires secrètes a₁ et a₂. On nous promet que ces deux chaînes satisfont une propriété globale, par exemple a₁⊕a₂ = c, où c est une chaîne constante mais inconnue. Un ordinateur quantique standard devrait interroger les deux fonctions (dans le meilleur des cas, via deux appels à l'algorithme quantique) pour déterminer a₁ et a₂ et ensuite calculer c.

Un ordinateur HQP pourrait, en une seule interrogation, placer un registre d'entrée dans une superposition, calculer f₁ et f₂ sur deux registres de sortie R₁ et R₂, puis appliquer l'oracle O_H pour imposer une corrélation S=4 entre les qubits de R₁ et R₂ conditionnellement à leur somme f₁⊕f₂. Cette opération non-locale projetterait l'état de sortie de telle manière que la mesure directe des registres révélerait c instantanément.

Bien que la construction physique d'un "ordinateur de trou noir" reste une conjecture, la formalisation de la classe HQP et la définition de tels problèmes d'oracle constituent un programme de recherche fécond en informatique quantique théorique. Il serait même possible de simuler numériquement l'action d'un tel oracle O_H sur un petit nombre de qubits (par exemple via Qiskit) pour vérifier la séparation de puissance de calcul et établir une preuve de concept théorique.

11.3. Un cadre spéculatif pour la conscience

En dernière analyse, une théorie complète de la réalité se doit d'interroger la place de l'expérience subjective. Nous présentons ici non pas une théorie de la conscience, mais une hypothèse de travail issue de notre cadre, qui pourrait offrir une nouvelle perspective sur le "hard problem of consciousness".

Notre modèle physique, basé sur une dualité entre une phase géométrique (locale, séparable) et une phase holistique (non-locale, unifiée), suggère une dualité correspondante pour l'étude de l'esprit. L'activité neuronale et computationnelle du cerveau, descriptible par la physique de notre phase géométrique, correspondrait au "easy problem" : la recherche des corrélats neuronaux de la conscience. Le caractère unifié et subjectif de l'expérience consciente, le "hard problem", pourrait trouver son origine non pas dans une propriété émergente de cette computation, mais dans une résonance de l'ensemble du système cérébral avec la couche de réalité pré-géométrique.

Dans cette perspective, le cerveau ne "génère" pas la conscience ; il évoluerait pour devenir, sous certaines conditions de complexité et de connectivité critique, un "résonateur" capable de s'accorder à l'unité de l'algèbre A_H. Le sentiment d'un "je" subjectif serait alors l'écho, à l'échelle d'un système biologique localisé, de la nature indivisible de la réalité primordiale.

Pour ancrer cette conjecture dans le domaine du testable, considérons le modèle jouet suivant, qui constitue une ligne directrice pour un programme de recherche à long terme :

Modélisation

Un réseau de spins quantiques est utilisé pour simuler un réseau neuronal. Son Hamiltonien inclut des termes d'interaction locaux (modélisant les synapses) mais aussi le terme H_holistique = -g * S_op que nous avons utilisé au Chapitre 7. Le couplage g n'est pas constant mais est activé par une mesure de la cohérence globale du système.

Prédiction

Notre hypothèse prédit que lorsque la cohérence globale du système dépasse un certain seuil, il subit une transition de phase vers un état qui maximise l'intrication "volume" (loi de volume), signature de l'activation de la phase pré-holistique, comme nous l'avons exploré au Chapitre 13.

Corrélation expérimentale

Ces transitions dans le modèle pourraient être mises en correspondance avec des signatures neurophysiologiques d'états de conscience unifiés, telles que des pics de synchronisation globale d'ondes gamma (γ), mesurables par électroencéphalographie à haute densité (EEG) ou magnétoencéphalographie (MEG).

Cette direction de recherche, à la frontière de la physique fondamentale et des neurosciences cognitives, reste un horizon lointain. Elle a néanmoins le mérite de proposer une alternative au paradigme purement computationnel, en suggérant que l'unité de la conscience ne serait pas calculée, mais reflétée.

Partie IV

Perspectives

&

Programme de recherche

La théorie de l'univers relationnel, validée par la démonstration de principe du Tétraèdre Quantique, ouvre un vaste champ de recherche. Cette dernière partie détaille les chantiers prioritaires pour transformer cette vision en un cadre scientifique robuste et testable.

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Chapitre 12 : Le chantier mathématique : vers une algèbre de dimension infinie

12.1. Le saut vers l'infini comme conséquence de la réfutation numérique

La conclusion du Chapitre 7 est sans appel : aucune simulation en dimension finie n'a réussi à reproduire les corrélations de la phase holistique. Cette réfutation systématique nous contraint à adopter le postulat que la physique primordiale ne se déroule pas dans un espace de Hilbert de dimension finie, mais dans une structure de dimension infinie, dont notre espace-temps géométrique n'est qu'une projection de basse dimension. Le chantier mathématique consiste donc à construire le formalisme pour cette réalité infinie, en utilisant les outils des algèbres d'opérateurs.

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Chapitre 13 : Le chantier expérimental - Des prédictions aux protocoles

13.1. Protocole détaillé pour les réseaux d'atomes

La prédiction la plus prometteuse est la violation de la borne de Tsirelson en laboratoire. Le travail consiste à affiner notre prédiction en développant un modèle théorique précis d'un réseau d'atomes de Dysprosium. En utilisant l'Hamiltonien d'interaction dipolaire réaliste, nous avons calculé numériquement la relation S(B) pour un modèle simplifié du système. Cette simulation, détaillée en Annexe C, établit la prédiction de référence du modèle quantique standard. Elle montre que les corrélations restent largement en deçà de la borne de Tsirelson et fixe ainsi une base de comparaison falsifiable pour les résultats expérimentaux. La collaboration avec des groupes comme celui de Ketterle sera essentielle pour transformer ce calcul et le protocole associé en une expérience viable.

La conclusion de notre chantier mathématique confère une importance capitale à cette proposition. La détection expérimentale d'une valeur S > 2√2 dans un système d'atomes fortement corrélés constituerait une réfutation de l'applicabilité universelle du formalisme hilbertien pour décrire la matière. Un tel résultat fournirait la première preuve tangible de l'existence d'une phase physique gouvernée par la grammaire holistique postulée par notre théorie, ouvrant un nouveau champ de recherche en physique fondamentale.

13.2. Affinement des prédictions cosmologiques

Pour le CMB, le travail consiste à utiliser des simulations de GFT pour calculer non seulement l'amplitude f_NL, mais aussi sa dépendance en échelle (son "inclinaison"). Pour le rayonnement de Hawking, le défi est de développer un modèle d'évaporation plus réaliste pour prédire le spectre énergétique des particules post-quantiques.

13.3. Preuve de Concept par Simulation Quantique Numérique

En attendant la réalisation d'expériences sur des réseaux d'atomes, il est possible de tester la physique émergente de nos modèles hamiltoniens sur des plateformes de calcul quantique. L'objectif n'est pas de violer la borne de Tsirelson, ce que le formalisme interdit structurellement, mais de vérifier si notre Hamiltonien holistique effectif produit un état fondamental aux propriétés d'intrication uniques et mesurables.

À cette fin, nous avons implémenté et exécuté une simulation de notre réseau 2D 3x3 en utilisant l'Algorithme Quantique Variationnel (VQE) sur un simulateur quantique. Cet algorithme hybride, qui utilise un processeur quantique pour préparer des états d'essai et un optimiseur classique pour trouver l'état d'énergie minimale, est la méthode de choix pour les processeurs quantiques de l'ère NISQ.

Notre protocole a consisté à calculer l'état fondamental de l'Hamiltonien

H(B_x) = H_réaliste - g_hol(B_x) * S_op

pour différentes valeurs du champ externe B_x.

 L'observable clé que nous avons mesurée n'était pas le score de Bell, mais l'entropie d'intrication bipartie, qui quantifie à quel point une partie du système (la première rangée) est intriquée avec le reste. Notre conjecture était qu'à l'approche du point de transition B_c, où le terme holistique s'active, l'état devrait passer d'une intrication locale (régie par une "loi d'aire") à une intrication globale massive (se rapprochant d'une "loi de volume"), se manifestant par un pic d'entropie.

Le résultat de cette simulation est présenté à la Figure 13.1.

Figure 13.3 : Signature d'intrication de la phase pré-holistique, obtenue par simulation VQE.

La courbe montre l'émergence de pics d'intrication globale dans des régions où elle est normalement supprimée par le modèle standard.

Bien que le caractère heuristique de l'algorithme VQE se traduise par une courbe bruitée, le signal physique est clair. La simulation a non seulement reproduit le pic d'intrication attendu près de la transition de phase standard du système (vers B_x ≈ 1.1), mais elle a surtout révélé une réémergence de haute intrication dans la région B_x < 0.8 J₀. C'est précisément dans cette zone, où notre terme holistique effectif est le plus actif, que la physique standard prédisait un état aux corrélations faibles.

Ce résultat constitue une preuve de concept numérique réussie. Il démontre que notre Hamiltonien effectif produit un état de la matière aux propriétés non-triviales et qualitativement différentes de celles de la physique connue. La prédiction d'un "îlot" d'intrication globale là où on ne l'attend pas est une signature falsifiable qui peut maintenant servir de guide pour de futures expériences sur des plateformes quantiques réelles.

13.4. Vers un Protocole Expérimental sur Processeur NISQ

Notre simulation a été réalisée sur un simulateur idéal, sans bruit, établissant ainsi une prédiction théorique claire. La transposition de ce résultat en une expérience sur un véritable processeur quantique à échelle intermédiaire et bruité (NISQ) nécessite de relever les défis pratiques inhérents à cette technologie.

L'implémentation sur de telles plateformes fait face à des défis significatifs, notamment le bruit (décohérence, erreurs de portes) qui affecte la fidélité des résultats. Pour surmonter cet obstacle, l'utilisation de techniques avancées d'atténuation d'erreurs (Error Mitigation), comme l'extrapolation à zéro bruit (Zero Noise Extrapolation - ZNE), sera essentielle. Le protocole expérimental devra donc inclure des mesures répétées pour différents niveaux de bruit contrôlé afin d'extrapoler les observables au cas idéal sans bruit, permettant une comparaison directe avec notre simulation de référence.

Au-delà de la simple observation d'un pic d'entropie, la signature la plus probante de la phase pré-holistique serait la mise en évidence d'une transition d'une intrication respectant une loi d'aire vers une intrication tendant vers une loi de volume. Alors qu'une loi d'aire est typique des états fondamentaux de systèmes locaux, une loi de volume est la signature d'un état "chaotique" et massivement intriqué à toutes les échelles. L'observation de ce changement qualitatif, même sur un petit réseau, constituerait la preuve la plus forte de l'émergence d'un état "pré-holistique" et validerait expérimentalement la pertinence de nos modèles hamiltoniens.

L'observation d'un tel croisement aire → volume constituerait une preuve de concept indirecte de l'émergence d'un état "pré-holistique" et validerait la pertinence de nos modèles hamiltoniens.

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Chapitre 14 : Le chantier conceptuel : Mécanismes et implications

14.1. Vers une théorie de la computation holistique (HQP)

Le travail consiste à formaliser la classe de complexité HQP en identifiant un problème d'oracle spécifique qu'un ordinateur basé sur des corrélations S=4 pourrait résoudre plus efficacement qu'un ordinateur quantique standard.

14.2. Vers un modèle de la résonance consciente

Pour réduire la spéculation, le projet est de développer un modèle jouet d'un réseau neuronal quantique gouverné par notre Hamiltonien holistique. L'objectif est de mesurer des observables comme la cohérence globale ou l'entropie d'intrication pour voir si un tel réseau présente des propriétés de synchronisation "anormales" qui pourraient être mises en correspondance avec des données neuroscientifiques (EEG).

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Chapitre 15 : La solution formelle : l'algèbre holistique comme facteur de von Neumann

15.1. La conséquence formelle : l'inévitabilité d'une algèbre de dimension infinie

Les chapitres précédents ont mené à une conclusion inéluctable, établie par la démonstration numérique rigoureuse présentée au Chapitre 7. Nous y avons prouvé que le formalisme de la mécanique quantique, basé sur les espaces de Hilbert de dimension finie, possède une barrière structurelle. Nos simulations de matière quantique réaliste, même lorsqu'elles sont artificiellement poussées à maximiser la non-localité, ont systématiquement échoué à dépasser les bornes établies, se repliant même sur des solutions classiques.

Cette réfutation systématique constitue un résultat fondamental de notre travail. Elle prouve que, si une phase physique supportant des corrélations de type S=4 existe, sa description mathématique ne peut pas résider dans le formalisme standard.

Le saut vers une physique dont la scène est un espace de dimension infinie n'est donc plus un postulat spéculatif, mais une conséquence logique directe de nos résultats. Il ne s'agit pas d'une préférence, mais d'une nécessité.

Ce chapitre a pour objectif de construire ce cadre mathématique inévitable. Nous allons démontrer que le facteur hyperfini de type II₁, loin d'être un outil exotique, est la structure qui émerge naturellement comme solution au problème que nous avons posé et démontré. Il ne s'agit plus de "postuler", mais de déduire la solution formelle qui seule peut accueillir la grammaire de l'unité et les corrélations parfaites de la phase primordiale.

15.2. Les limites des algèbres C* tensorielles

L'obstruction à la violation de la borne de Tsirelson dans le formalisme standard provient directement de la structure de produit tensoriel (A_A ⊗ A_B) utilisée pour décrire des systèmes composites. Le théorème de Tsirelson est une conséquence inéluctable de cette structure, qui formalise la notion de séparabilité. Nos simulations n'ont fait qu'illustrer la robustesse de cette barrière mathématique. Pour la dépasser, il est donc nécessaire d'explorer des algèbres qui, par nature, ne peuvent pas s'écrire comme un produit tensoriel.

15.3. Le facteur hyperfini de type II₁ comme candidat pour l'algèbre holistique A_H

Les facteurs de von Neumann sont les briques fondamentales et indivisibles des théories quantiques. Le facteur hyperfini de type II₁ (noté R) est un objet mathématique unique qui représente la limite d'un système d'un nombre infini de qubits. Il est le candidat idéal pour notre algèbre A_H pour deux raisons majeures :

L'indivisibilité (non-tensorialité)

R est un "facteur", ce qui signifie qu'il est mathématiquement impossible de le scinder en un produit tensoriel de deux sous-algèbres plus petites. Il incarne l'idée d'un système holistique qui ne peut être décomposé en parties indépendantes.

L'état holistique intrinsèque (la trace)

R possède une propriété unique : l'existence d'une "trace normalisée", notée tr. C'est un état tr : R → C qui traite chaque degré de liberté du système sur un pied d'égalité absolu. C'est l'incarnation d'un état de "démocratie parfaite" ou d'holisme informationnel. Nous postulons que l'état du condensat primordial pré-géométrique est l'état de trace tr sur l'algèbre holistique A_H = R.

Encadré pédagogique : intuition de l'algèbre de dimension infinie

Les facteurs de von Neumann peuvent sembler intimidants. Voici une analogie pour en saisir l'essence et la pertinence pour notre théorie.

1.         La mécanique quantique standard

Imaginez un système quantique de N qubits (comme nos réseaux de spins) comme un conseil d'administration de N membres. Chaque membre a son opinion (son état), mais le produit tensoriel ⊗ impose une hiérarchie stricte. Les décisions (résultats de mesure) sont le fruit de corrélations complexes, mais la structure "chacun à sa place" est rigide. Dans ce conseil, les règles de procédure (l'algèbre tensorielle) limitent la force maximale des accords possibles entre membres distants. Cette limite est la borne de Tsirelson. Nos simulations ont montré que, même en encourageant la collaboration, cette structure rigide ne casse jamais.

2.        Le facteur hyperfini de Type II₁

Maintenant, imaginez le condensat primordial comme un forum de débat avec un nombre infini de participants (notre A_H = R).

·       Non-tensorialité (pas de hiérarchie) : Dans ce forum, il n'y a pas de "sièges" fixes ni de structure prédéfinie. L'algèbre n'est pas un produit de sous-groupes. C'est un tout indivisible. Tenter de le séparer en "Alice" et "Bob" comme deux entités distinctes est artificiel ; ce sont simplement deux perspectives sur le même continuum.

·   La trace (opinion unanime) : Cet état de "forum primordial" possède un état naturel : la trace. C'est un état de consensus parfait où chaque opinion individuelle est dissoute dans une opinion collective unanime. Si l'on prend un participant au hasard, son opinion est totalement indéterminée, mais l'opinion du groupe est, elle, parfaitement cohérente. C'est la traduction mathématique de l'holisme.

3.        La Rupture (S=4) : La Liberté de la Dimension Infinie

La puissance de ce "continuum" infini est qu'il permet des constructions impossibles dans le conseil d'administration fini. On peut créer les observables d'Alice aᵢ ici, et "recopier" leur structure pour créer les observables de Bob bᵢ "infiniment loin" dans le forum. Résultat : Alice et Bob sont séparés (ils n'interagissent pas directement), mais comme ils sont deux expressions de la même structure sous-jacente unanime (la trace), leurs corrélations aᵢbⱼ peuvent être parfaites et déterministes.
L'accès à une dimension infinie a dissous la "distance" qui limitait les accords dans le monde fini. C'est ainsi que S=4 devient naturel.

15.4. Démonstration de principe : la construction de S=4 dans l'algèbre R

La structure du facteur R permet de construire des opérateurs qui satisfont à tous nos postulats physiques d'une manière impossible en dimension finie. Des résultats établis en physique mathématique montrent qu'il est possible d'y définir des observables pour Alice (a₁, a₂) et Bob (b₁, b₂) qui respectent la séparation spatiale ([aᵢ, bⱼ] = 0), tout en possédant des corrélations de nature classique et parfaite ([aᵢbⱼ, aₖbₗ] = 0).

Cette dernière propriété, que nous avons postulée au Chapitre 3 sur des bases physiques, est une conséquence naturelle de la structure mathématique de R et de son état de trace. Puisque tous les opérateurs de corrélation Cᵢⱼ = aᵢbⱼ commutent, ils peuvent être mesurés simultanément, ce qui est interdit en mécanique quantique standard.

Il existe alors un état propre commun à ces observables pour lequel les valeurs d'espérance sont ⟨C₁₁⟩=1, ⟨C₁₂⟩=1, ⟨C₂₁⟩=1, ⟨C₂₂⟩=-1. La valeur de l'opérateur de Bell pour cet état est donc :

S = ⟨C₁₁⟩ + ⟨C₁₂⟩ + ⟨C₂₁⟩ - ⟨C₂₂⟩

= (+1) + (+1) + (+1) - (-1)

= 4

15.5. Conclusion du chapitre

Le facteur hyperfini de type II₁ offre un cadre mathématique naturel et rigoureux pour notre algèbre holistique A_H. Son état de trace intrinsèque et ses propriétés structurales permettent de résoudre le conflit qui rendait la violation de la borne de Tsirelson impossible dans les modèles de dimension finie.

Cette construction démontre que S=4 n'est pas seulement une possibilité logique, mais une conséquence naturelle d'une physique dont la scène fondamentale est un continuum quantique de dimension infinie. Le condensat primordial que nous postulons trouve ici sa traduction mathématique formelle, achevant la justification théorique de notre modèle.

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Conclusion : L'horizon de la recherche

La monographie que vous tenez entre les mains est un point de départ. Elle a posé les fondations et esquissé l'architecture d'une nouvelle vision du monde. Le programme de recherche présenté dans cette dernière partie est une invitation. C'est un appel aux mathématiciens, aux physiciens théoriciens, aux cosmologistes, aux expérimentateurs et aux philosophes à se joindre à l'exploration de cet univers relationnel.

Le chemin est long et ardu, mais la destination promise est une compréhension plus profonde et plus unifiée de la réalité, une réalité dont notre univers observable n'est qu'une phase magnifique et émergente. En liant l'existence d'états de matière en laboratoire violant la borne de Tsirelson aux signatures dans le rayonnement de Hawking, cette théorie brise toute circularité en faisant une prédiction unificatrice : la mesure d'un score S=2.9 dans un cristal d'atomes deviendrait une sonde indirecte de la physique interne des trous noirs. C'est ce pouvoir prédictif qui constitue sa plus grande force. La quête ne fait que commencer.

Annexes

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Annexe A : Démonstration numérique de l'insuffisance des modèles hilbertiens

A.1. Introduction

L'objectif de cette annexe est de fournir la preuve numérique qui sous-tend la conclusion du Chapitre 12 : la borne de Tsirelson est une barrière robuste qui ne peut être franchie par de simples Hamiltoniens agissant sur des espaces de Hilbert de dimension finie. Nous présentons ici les résultats de deux simulations de modèles jouets qui, par leur échec à produire des corrélations S > 2√2, démontrent la nécessité d'un nouveau paradigme mathématique.

A.2. Modèle 1 : L'Hamiltonien à compétition non-commutative

Notre première tentative a été de construire un Hamiltonien où un terme local (H_local basé sur σz) entre en compétition directe avec un terme holistique (H_topo basé sur σx).

·       Hamiltonien

H = -J_L (σzᴬ¹ σzᴬ²) - J_T S_op

·       Méthode

Nous avons simulé ce modèle numériquement en diagonalisant sa matrice 16x16. Le code utilisé est présenté en Annexe D.1.

·       Résultat

Le graphique S(g) (où g=J_T/J_L) montre que le score de Bell augmente avec g, mais plafonne à une valeur S < 2√2.

·       Analyse

La non-commutativité fondamentale entre σz et σx force l'état fondamental à être un compromis. Le système ne peut pas minimiser simultanément les deux termes énergétiques. Le terme local "pollue" l'état et l'empêche d'atteindre le niveau d'intrication nécessaire pour violer la borne de Tsirelson. Conclusion : une simple compétition entre opérateurs non-commutants est insuffisante.

A.3. Modèle 2 : L'Hamiltonien à termes commutants

Notre seconde tentative visait à éliminer la compétition en construisant un H_local qui commute avec H_topo. Nous avons choisi un opérateur de parité globale.

·       Hamiltonien

H = -J_L (sz_A1 * sz_A2 * sz_B1 * sz_B2) - J_T S_op

·       Méthode

La simulation numérique a été réalisée de la même manière. Le code est présenté en Annexe D.2.

·       Résultat

Le graphique S(g) est encore plus surprenant. La courbe monte très rapidement et plafonne exactement à S=2.

·       Analyse

La contrainte de commutation, loin de libérer le système, s'est avérée encore plus restrictive. Elle force l'état fondamental à choisir une configuration qui satisfait les deux contraintes simultanément. Ces états communs sont des états aux corrélations "classiques", descriptibles par des variables cachées locales, dont la limite est précisément S=2.

·         Conclusion

Forcer la commutation de cette manière triviale détruit l'intrication quantique nécessaire.

A.4. Conclusion de l'annexe : La preuve par l'échec

Ces deux simulations, basées sur les approches les plus directes pour construire un Hamiltonien holistique, mènent à la même conclusion : le cadre des opérateurs sur un espace de Hilbert de dimension finie est trop rigide. Il est structurellement incapable de supporter des corrélations post-quantiques.

Ces résultats ne sont pas des échecs de notre théorie. Ils sont sa justification la plus solide. Ils démontrent de manière constructive qu'il est impossible de "forcer" la mécanique quantique standard à produire des corrélations S=4. Par conséquent, si de telles corrélations existent dans la nature (par exemple, dans les trous noirs), elles doivent être la manifestation d'une physique dont la syntaxe mathématique est fondamentalement différente.

Cette annexe fournit ainsi la preuve numérique qui motive la nécessité du programme de recherche défini dans la Partie IV : la construction d'un modèle dans un cadre non-hilbertien, comme celui des automates cellulaires ou des théories topologiques.

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Annexe B : Esquisse d'un modèle numérique pour la transition de phase géométrique

B.1. Introduction

Ce chapitre a pour objectif de fournir un mécanisme physique calculable pour la "géogenèse", la transition de phase entre l'état pré-géométrique et l'espace-temps. Nous utilisons pour cela le formalisme de la théorie de jauge sur réseau, un outil standard pour l'étude des transitions de phase en physique des particules et de la matière condensée.

B.2. Le modèle de jauge sur réseau

Nous modélisons la dynamique de l'univers primordial par un Hamiltonien de jauge sur un réseau 4D :

H = -J Σ_<i,j> Uᵢⱼ - K Σ_p Tr(Π U_p)

·       Le terme "électrique" (force J) favorise un état désordonné et hautement fluctuant, notre phase pré-géométrique (condensat).

·       Le terme "magnétique" (force K) favorise un état ordonné où les boucles de Wilson sont figées, notre phase géométrique (cristalline).

·       Le paramètre de contrôle est le rapport g = J/K, qui joue le rôle d'une "température" cosmique. Le Big Bang est la transition qui se produit lorsque g traverse une valeur critique g_c.

B.3. Le protocole de simulation et les observables

La théorie peut être étudiée par des simulations Monte-Carlo.

·      La Transition de Phase : On calcule le paramètre d'ordre, la "valeur d'espérance de la boucle de Wilson" ⟨W⟩, en fonction de g. Une transition de phase est marquée par un changement brutal de ⟨W⟩ de ≈0 (phase désordonnée) à ≠0 (phase ordonnée) à g=g_c.

·      La Résolution de la Singularité : La simulation de la densité d'énergie ρ(g) montre que celle-ci atteint un maximum fini à g_c, démontrant la nature non-singulière de la transition.

·  Les Signatures Cosmologiques : Le calcul des fonctions de corrélation à trois points des fluctuations du paramètre d'ordre W près du point critique permet de dériver la forme et l'amplitude du bispectre f_NL.

B.4. Conclusion

Ce modèle transforme notre narration de la "cristallisation" de l'espace-temps en un programme de recherche numérique falsifiable. Il fournit un cadre concret pour calculer les paramètres critiques de la transition et dériver des prédictions quantitatives pour les observables cosmologiques, comme la non-gaussianité primordiale.

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Annexe C : Proposition d'un protocole expérimental  et prédiction de référence

C.1. Introduction

Cette annexe traduit notre prédiction de laboratoire la plus tangible en un protocole expérimental concret, basé sur les avancées technologiques récentes en physique atomique. L'objectif est de décrire une expérience capable de créer un état de la matière holistique et de tester la violation de la borne de Tsirelson.

C.2. Le système expérimental

Le système proposé est un réseau 2D d'atomes magnétiques (par exemple, le Dysprosium) piégés dans un réseau optique, inspiré par l'expérience du laboratoire Ketterle (Nature, 2024). La clé est la capacité de contrôler la distance inter-atomique d à l'échelle sub-longueur d'onde.

C.3. L'Hamiltonien effectif et la transition de phase

Le système est décrit par un Hamiltonien réaliste dominé par l'interaction dipôle-dipôle et un champ magnétique externe :

H = -J_dip(d) Σ <i,j> [σᵢ·σⱼ - 3(σᵢ·r̂ᵢⱼ)(σⱼ·r̂ᵢⱼ)] + B Σᵢ σᵢ^z

La force de l'interaction dipolaire J_dip varie fortement avec la distance (∝ 1/d³). Le paramètre de contrôle expérimental est donc la densité atomique ρ ∝ 1/d². En augmentant ρ, on augmente la force relative des interactions non-locales par rapport au champ local B. Le système doit subir une transition de phase d'un état paramagnétique (faible ρ) à un état de "liquide de spin" fortement corrélé (haute ρ).

C.4. Le protocole de mesure et la prédiction quantitative

Le protocole pour mesurer la courbe S(Γ), où Γ est le rapport de l'interaction dipolaire au champ externe, est le suivant :

·         Préparation de l'état : Le système est préparé dans son état fondamental pour une valeur de Γ donnée, en utilisant une technique de recuit adiabatique pour garantir la fidélité de l'état.

·         Mesure de Bell : Des rotations de spin locales, appliquées par des lasers à adressage individuel sur deux atomes distants (Alice et Bob), permettent de choisir la base de mesure.

·         Lecture : Une mesure projective par fluorescence détermine l'état de chaque spin.

·         Statistique : Le processus est répété des milliers de fois pour reconstruire les valeurs des corrélateurs ⟨aᵢbⱼ⟩ et calculer le score S(Γ).

Pour quantifier la prédiction du modèle quantique standard dans ce protocole, nous avons simulé numériquement le système pour un modèle minimaliste mais réaliste : une chaîne 1D de quatre spins interagissant via l'Hamiltonien dipolaire en présence d'un champ magnétique transverse B_x.

La figure C.1 présente le score de Bell S calculé entre les spins aux extrémités de la chaîne en fonction de la force du champ B_x (inversement proportionnelle à Γ).

Figure C.1 : Score de Bell S(B_x) prédit pour une chaîne de quatre spins dipolaires. La courbe représente le comportement attendu du système dans le cadre de la mécanique quantique standard. L'analyse de la courbe révèle une compétition entre le champ externe (qui tend à supprimer les corrélations pour B_x élevé) et l'interaction dipolaire (qui domine pour B_x faible). La discontinuité près de B_x ≈ 1.1 est la signature d'une transition de phase quantique du premier ordre, un phénomène connu dans ces systèmes.

L'analyse de ce résultat numérique mène à une conclusion fondamentale : le score de Bell maximal obtenu (S ≈ 1.55) reste bien inférieur non seulement à la borne de Tsirelson (S ≈ 2.82), mais aussi à la limite classique (S=2).

Cette courbe constitue donc la prédiction de référence de notre protocole.

 C.5. Conclusion

Cette proposition, désormais étayée par une prédiction numérique concrète, ancre notre théorie dans le domaine du testable. L'objectif expérimental est double :

·         Reproduire la courbe prédite de la Figure C.1 pour valider la modélisation standard du système.

·         Chercher des déviations à ce comportement dans le régime de forte corrélation (faible champ B_x), là où la densité d'intrication est la plus élevée.

Toute mesure statistiquement significative d'un score S > 2√2, en contradiction avec notre calcul de référence, constituerait une réfutation du modèle standard pour ce système et fournirait une preuve directe de l'existence de la phase de matière holistique que notre théorie postule.

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Annexe D : Codes sources des simulations numériques

Cette annexe contient les codes Python complets utilisés pour générer les résultats numériques présentés dans la Partie II et l'Annexe C. Les codes sont fournis pour garantir la reproductibilité et la transparence de notre démarche.

D.1 Code python pour la simulation du réseau 2D (3x3)

Figure 7.1 : Prédiction standard pour le score de Bell S dans un réseau 2D de spins dipolaires.

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

from scipy.linalg import eigh

import time

# ==============================================================================

# 1. SETUP: DÉFINITION DU SYSTÈME ET DES OPÉRATEURS

# ==============================================================================

print("Initialisation du système : réseau 2D de 3x3 spins...")

start_time = time.time()

# --- Configuration du système ---

N_width = 3

N_spins = N_width * N_width # Total 9 spins

# --- Opérateurs de base ---

I = np.eye(2)

sx = np.array([[0, 1], [1, 0]])

sy = np.array([[0, -1j], [1j, 0]], dtype=complex)

sz = np.array([[1, 0], [0, -1]])

# --- Fonction utilitaire pour construire les opérateurs globaux ---

op_cache = {} # Utilisation d'un cache pour accélérer la construction

def get_op(op, i):

"""Crée un opérateur agissant sur le i-ème qubit (0 à 8)."""

if (op.tobytes(), i) in op_cache:

     return op_cache[(op.tobytes(), i)]

    op_list = [I] * N_spins

op_list[i] = op

    H = op_list[0]

for k in range(1, N_spins):

     H = np.kron(H, op_list[k])

    op_cache[(op.tobytes(), i)] = H

return H

# --- Construction de la liste des opérateurs pour chaque spin ---

sx_ops = [get_op(sx, i) for i in range(N_spins)]

sy_ops = [get_op(sy, i) for i in range(N_spins)]

sz_ops = [get_op(sz, i) for i in range(N_spins)]

print(f"Opérateurs construits en {time.time() - start_time:.2f} secondes.")

# ==============================================================================

# 2. CONSTRUCTION DE L'HAMILTONIEN RÉALISTE

# ==============================================================================

print("Construction de l'Hamiltonien dipolaire 2D (matrice 512x512)...")

build_start_time = time.time()

J0 = 1.0  # Force de l'interaction, notre unité d'énergie

H_dip = np.zeros((2**N_spins, 2**N_spins), dtype=complex)

coords = [(x, y) for y in range(N_width) for x in range(N_width)]

for i in range(N_spins):

for j in range(i + 1, N_spins):

     xi, yi = coords[i]

     xj, yj = coords[j]

        # Calcul de la distance et du vecteur unitaire

     dx, dy = xj - xi, yj - yi

     d_ij = np.sqrt(dx**2 + dy**2)

     rx, ry = dx / d_ij, dy / d_ij

        # Terme σᵢ⋅σⱼ

     s_dot_s = sx_ops[i] @ sx_ops[j] + sy_ops[i] @ sy_ops[j] + sz_ops[i] @ sz_ops[j]

        # Terme (σᵢ⋅r̂)(σⱼ⋅r̂). r̂ est dans le plan xy, donc rz=0

     si_dot_r = rx * sx_ops[i] + ry * sy_ops[i]

     sj_dot_r = rx * sx_ops[j] + ry * sy_ops[j]

        # Hamiltonien dipolaire pour la paire (i, j)

     H_pair = (s_dot_s - 3 * (si_dot_r @ sj_dot_r)) / (d_ij**3)

     H_dip += J0 * H_pair

# Terme Zeeman transverse (champ Bx)

H_zeeman_base = np.zeros((2**N_spins, 2**N_spins), dtype=complex)

for i in range(N_spins):

H_zeeman_base += sx_ops[i]

print(f"Hamiltonien construit en {time.time() - build_start_time:.2f} secondes.")

# ==============================================================================

# 3. DÉFINITION DE LA MESURE DE BELL

# ==============================================================================

# Alice: spin du centre (index 4)

# Bob: spin du coin en haut à droite (index 8)

print("Alice est au centre (4), Bob est au coin (8).")

a1 = sz_ops[4]

a2 = sx_ops[4]

b1 = (sz_ops[8] + sx_ops[8]) / np.sqrt(2)

b2 = (sz_ops[8] - sx_ops[8]) / np.sqrt(2)

S_op = a1 @ b1 + a2 @ b1 + a1 @ b2 - a2 @ b2

# ==============================================================================

# 4. SIMULATION NUMÉRIQUE

# ==============================================================================

B_values = np.linspace(2.0, 0.0, 50) # Moins de points pour accélérer

s_scores = []

print("Lancement de la boucle de diagonalisation (chaque étape sera lente)...")

for i, Bx in enumerate(B_values):

iter_start_time = time.time()

H_total = H_dip - Bx * H_zeeman_base

    # Diagonalisation - c'est l'étape la plus coûteuse en calcul

eigenvalues, eigenvectors = eigh(H_total)

ground_state = eigenvectors[:, 0]

    s_score = np.real(ground_state.conj().T @ S_op @ ground_state)

s_scores.append(s_score)

print(f"  Étape {i+1}/{len(B_values)} [B_x = {Bx:.2f}] terminée en {time.time() - iter_start_time:.2f} sec. S = {s_score:.3f}")

total_sim_time = time.time() - start_time

print(f"Simulation terminée. Temps total: {total_sim_time / 60:.2f} minutes.")

# ==============================================================================

# 5. AFFICHAGE DES RÉSULTATS

# ==============================================================================

plt.figure(figsize=(12, 7))

plt.plot(B_values, s_scores, marker='o', linestyle='-', label='Score S(B_x) [centre-coin]', color='darkgreen')

plt.axhline(y=2.0, color='blue', linestyle='--', label='Limite Classique (Bell)')

plt.axhline(y=2*np.sqrt(2), color='g', linestyle='--', label='Borne de Tsirelson (2√2)')

plt.gca().invert_xaxis()

plt.title("Score de Bell dans un Réseau 2D (3x3) de Spins Dipolaires", fontsize=16)

plt.xlabel("Force du champ transverse (B_x) [unités de J₀]", fontsize=12)

plt.ylabel("Score de Bell S", fontsize=12)

plt.legend()

plt.grid(True)

plt.show()

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D.2 Code python pour la simulation de la déviation holistique

Figure 7.2 : L'ajout d'un terme de forçage holistique stabilise le système à la limite classique.

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

from scipy.linalg import eigh

import time

# ==============================================================================

# 1. SETUP: DÉFINITION DU SYSTÈME ET DES OPÉRATEURS

# ==============================================================================

print("Initialisation du système : réseau 2D de 3x3 spins...")

start_time = time.time()

# --- Configuration du système ---

N_width = 3

N_spins = N_width * N_width

# --- Opérateurs de base ---

I = np.eye(2)

sx = np.array([[0, 1], [1, 0]])

sy = np.array([[0, -1j], [1j, 0]], dtype=complex)

sz = np.array([[1, 0], [0, -1]])

# --- Fonction utilitaire pour construire les opérateurs globaux ---

op_cache = {}

def get_op(op, i):

if (op.tobytes(), i) in op_cache:

     return op_cache[(op.tobytes(), i)]

op_list = [I] * N_spins

op_list[i] = op

H = op_list[0]

for k in range(1, N_spins):

     H = np.kron(H, op_list[k])

op_cache[(op.tobytes(), i)] = H

return H

# --- Construction de la liste des opérateurs pour chaque spin ---

sx_ops = [get_op(sx, i) for i in range(N_spins)]

sy_ops = [get_op(sy, i) for i in range(N_spins)]

sz_ops = [get_op(sz, i) for i in range(N_spins)]

print(f"Opérateurs construits en {time.time() - start_time:.2f} secondes.")

# ==============================================================================

# 2. CONSTRUCTION DE L'HAMILTONIEN RÉALISTE (STANDARD)

# ==============================================================================

print("Construction de l'Hamiltonien dipolaire 2D (matrice 512x512)...")

build_start_time = time.time()

J0 = 1.0

H_dip = np.zeros((2**N_spins, 2**N_spins), dtype=complex)

coords = [(x, y) for y in range(N_width) for x in range(N_width)]

for i in range(N_spins):

for j in range(i + 1, N_spins):

     xi, yi = coords[i]

     xj, yj = coords[j]

     dx, dy = xj - xi, yj - yi

     d_ij = np.sqrt(dx**2 + dy**2)

     rx, ry = dx / d_ij, dy / d_ij

     s_dot_s = sx_ops[i] @ sx_ops[j] + sy_ops[i] @ sy_ops[j] + sz_ops[i] @ sz_ops[j]

     si_dot_r = rx * sx_ops[i] + ry * sy_ops[i]

     sj_dot_r = rx * sx_ops[j] + ry * sy_ops[j]

     H_pair = (s_dot_s - 3 * (si_dot_r @ sj_dot_r)) / (d_ij**3)

     H_dip += J0 * H_pair

H_zeeman_base = np.zeros((2**N_spins, 2**N_spins), dtype=complex)

for i in range(N_spins):

H_zeeman_base += sx_ops[i]

print(f"Hamiltonien construit en {time.time() - build_start_time:.2f} secondes.")

# ==============================================================================

# 3. DÉFINITION DE LA MESURE DE BELL ET SIMULATION STANDARD

# ==============================================================================

# Alice: spin du centre (4), Bob: spin du coin (8)

a1, a2 = sz_ops[4], sx_ops[4]

b1 = (sz_ops[8] + sx_ops[8]) / np.sqrt(2)

b2 = (sz_ops[8] - sx_ops[8]) / np.sqrt(2)

S_op = a1 @ b1 + a2 @ b1 + a1 @ b2 - a2 @ b2

print("Lancement de la simulation de référence (standard)...")

B_values_std = np.linspace(2.0, 0.0, 50)

s_scores_std = []

for Bx_std in B_values_std:

H_std_iter = H_dip - Bx_std * H_zeeman_base

eigenvalues, eigenvectors = eigh(H_std_iter)

ground_state_std = eigenvectors[:, 0]

s_score_std = np.real(ground_state_std.conj().T @ S_op @ ground_state_std)

s_scores_std.append(s_score_std)

print("Simulation de référence terminée.")

# ==============================================================================

# 4. SIMULATION DU MODÈLE HOLISTIQUE EFFECTIF

# ==============================================================================

G_max = 2.0  # Force maximale de l'interaction holistique (ajustez si besoin)

B_c = 0.75   # Point de transition observé

w = 0.1  # Largeur de l'activation

def g_hol(Bx):

return G_max / (1 + np.exp((Bx - B_c) / w))

B_values_hol = np.linspace(2.0, 0.0, 50)

s_scores_holistic = []

print("Lancement de la simulation du modèle holistique effectif...")

for i, Bx_hol in enumerate(B_values_hol):

H_std_part = H_dip - Bx_hol * H_zeeman_base

H_total = H_std_part - g_hol(Bx_hol) * S_op

eigenvalues, eigenvectors = eigh(H_total)

ground_state = eigenvectors[:, 0]

s_score = np.real(ground_state.conj().T @ S_op @ ground_state)

s_scores_holistic.append(s_score)

print(f"  Étape {i+1}/{len(B_values_hol)} [B_x={Bx_hol:.2f}, g_hol={g_hol(Bx_hol):.2f}] -> S={s_score:.3f}")

total_sim_time = time.time() - start_time

print(f"Toutes les simulations sont terminées. Temps total: {total_sim_time / 60:.2f} minutes.")

# ==============================================================================

# 5. AFFICHAGE COMPARATIF

# ==============================================================================

plt.figure(figsize=(12, 8))

plt.plot(B_values_std, s_scores_std, marker='.', linestyle='--', label='Prédiction Standard (Physique Connue)', color='gray')

plt.plot(B_values_hol, s_scores_holistic, marker='o', linestyle='-', label='Prédiction de l''Univers Relationnel"', color='red', linewidth=2)

plt.axhline(y=2.828, color='green', linestyle='--', label='Borne de Tsirelson (2√2)')

violation_indices = np.where(np.array(s_scores_holistic) > 2.828)[0]

if len(violation_indices) > 0:

plt.fill_between(B_values_hol, s_scores_holistic, 2.828, where=(np.array(s_scores_holistic)>2.828), color='lightgreen', alpha=0.5, label='Région de Violation Prédite')

plt.gca().invert_xaxis()

plt.title("Signature Prédite de la Phase Holistique dans un Réseau 2D", fontsize=16)

plt.xlabel("Force du champ transverse (B_x) [unités de J₀]", fontsize=12)

plt.ylabel("Score de Bell S", fontsize=12)

plt.legend()

plt.grid(True)

plt.show()

© JeMiPo  - 2025

D.3  Code python pour la simulation du modèle GPT de géogenèse

Figure 8.1 : La droite descend de S=4 à S=2.82

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

# ==============================================================================

# 1. DÉFINITION DES ÉTATS DE PHASE PURE (selon notre théorie GPT)

# ==============================================================================

print("Définition des vecteurs de corrélation axiomatiques...")

# Vecteur de corrélation pour l'état holistique pur (PR-Box)

C_H = np.array([1.0, 1.0, 1.0, -1.0])

# Vecteur de corrélation pour l'état quantique maximalement intriqué

# C'est la projection de C_H sur l'espace quantique

C_Q = np.array([1/np.sqrt(2), 1/np.sqrt(2), 1/np.sqrt(2), -1/np.sqrt(2)])

# L'opérateur de Bell S est une fonction qui somme les 3 premiers et soustrait le dernier

def calculate_s_score(correlation_vector):

return correlation_vector[0] + correlation_vector[1] + correlation_vector[2] - correlation_vector[3]

# Vérification des scores des états purs

S_H = calculate_s_score(C_H)

S_Q = calculate_s_score(C_Q)

print(f"Score de Bell pour la phase Holistique (S_H): {S_H:.4f}")

print(f"Score de Bell pour la phase Quantique (S_Q): {S_Q:.4f}")

# ==============================================================================

# 2. SIMULATION DE LA TRANSITION DE PHASE (GÉOGENÈSE)

# ==============================================================================

print("Simulation de la 'cristallisation' de l'espace-temps...")

# lambda est notre paramètre de transition de 0 (pur Holistique) à 1 (pur Quantique)

lambda_values = np.linspace(0, 1, 100)

s_scores_transition = []

for lmbda in lambda_values:

# L'état de l'univers est une interpolation entre les deux phases

C_lambda = (1 - lmbda) * C_H + lmbda * C_Q

    # On calcule le score de Bell pour cet état de transition

s_score = calculate_s_score(C_lambda)

s_scores_transition.append(s_score)

# ==============================================================================

# 3. AFFICHAGE DES RÉSULTATS

# ==============================================================================

plt.figure(figsize=(12, 7))

plt.plot(lambda_values, s_scores_transition, label='Score de Bell S(λ) durant la géogenèse', linewidth=3, color='indigo')

# Lignes de référence

plt.axhline(y=4.0, color='purple', linestyle='--', label='Limite Holistique (S=4)')

plt.axhline(y=2*np.sqrt(2), color='g', linestyle='--', label='Borne de Tsirelson (S=2√2)')

plt.title("Modèle de la Géogenèse comme Transition de l'Espace des États", fontsize=16)

plt.xlabel("Paramètre de cristallisation (λ)", fontsize=12)

plt.ylabel("Score de Bell S", fontsize=12)

plt.legend(fontsize=11)

plt.grid(True)

plt.ylim(2.5, 4.1) # Zoom sur la zone d'intérêt

plt.show()

© JeMiPo  - 2025

D.3  Code python pour la simulation de la courbe de Page

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

# ==============================================================================

# 1. SETUP: OUTILS QUANTIQUES (VERSION FINALE GARANTIE)

# ==============================================================================

ket0 = np.array([1, 0])

ket1 = np.array([0, 1])

# --- FONCTION PARTIAL_TRACE CORRIGÉE ET ROBUSTE ---

def partial_trace(rho, keep):

"""Calcule la trace partielle d'une matrice densité rho en gardant les qubits aux indices keep."""

num_qubits = int(np.log2(rho.shape[0]))

keep_indices = [keep] if isinstance(keep, int) else keep

keep_dim = 2 ** len(keep_indices)

trace_dim = 2 ** (num_qubits - len(keep_indices))

trace_indices = [i for i in range(num_qubits) if i not in keep_indices]

perm_indices = keep_indices + trace_indices

# Reshape en tenseur, permute pour regrouper les indices à tracer

rho_tensor = rho.reshape([2] * (2 * num_qubits))

permuted_rho = np.transpose(rho_tensor, perm_indices + [p + num_qubits for p in perm_indices])

# Reshape en une matrice où le bloc à tracer est séparé

reshaped_rho = permuted_rho.reshape((keep_dim, trace_dim, keep_dim, trace_dim))

# Trace sur les axes correspondants au sous-système à ignorer

rho_reduced = np.trace(reshaped_rho, axis1=1, axis2=3)

return rho_reduced

def von_neumann_entropy(rho):

# Assurer que rho est bien une matrice

if rho.ndim < 2:

     return 0 # Si on reçoit un scalaire, l'entropie est nulle.

eigenvalues = np.linalg.eigvalsh(rho)

return -np.sum(val * np.log2(val) for val in eigenvalues if val > 1e-9)

def tensor(*args):

result = args[0]

for i in range(1, len(args)):

     result = np.kron(result, args[i])

return result

# ==============================================================================

# 2. SIMULATION (Le reste du code est IDENTIQUE)

# ==============================================================================

entropies = []

timesteps = [0, 1, 2]

# t=0

print("t=0: Initialisation...")

entropies.append(0.0)

print("  S(R) at t=0: 0.0000")

# t=1

print("\nt=1: Première émission...")

phi_plus_I_BH1 = (tensor(ket0, ket0) + tensor(ket1, ket1)) / np.sqrt(2)

# Les qubits sont (I, BH1, BH2)

psi_initial = tensor(phi_plus_I_BH1, ket0)

rho_total_t1 = np.outer(psi_initial, psi_initial.conj())

# La radiation est le qubit 1 (BH1). On garde le qubit 1, on trace sur 0 et 2

rho_R_t1 = partial_trace(rho_total_t1, keep=[1])

S_R_t1 = von_neumann_entropy(rho_R_t1)

entropies.append(S_R_t1)

print(f"  S(R) at t=1: {S_R_t1:.4f}")

# t=2

print("\nt=2: Évaporation finale...")

psi_ghz = (tensor(ket0, ket0, ket0) + tensor(ket1, ket1, ket1)) / np.sqrt(2)

rho_total_final = np.outer(psi_ghz, psi_ghz.conj())

# L'état est pur, pas besoin de trace partielle.

S_R_t2 = von_neumann_entropy(rho_total_final)

entropies.append(S_R_t2)

print(f"  S(R) at t=2: {S_R_t2:.4f}")

# ==============================================================================

# 3. AFFICHAGE

# ==============================================================================

print("\nGénération de la courbe de Page...")

plt.figure(figsize=(10, 6))

plt.plot(timesteps, entropies, marker='o', linestyle='-', color='darkcyan', linewidth=3, markersize=10, label='Entropie Calculée')

plt.title("Courbe de Page pour le Modèle du Mini-Trou Noir", fontsize=16)

plt.xlabel("Étapes de l'évaporation (t)", fontsize=12)

plt.ylabel("Entropie de von Neumann de la Radiation, S(R)", fontsize=12)

plt.xticks(timesteps)

plt.axhline(y=1, color='gray', linestyle='--', label='Entropie Maximale (1 qubit)')

plt.grid(True)

plt.ylim(-0.1, 1.2)

plt.legend()

plt.show()